Ejercicio 3

Exercise 3 performance evaluation - 3 from Edgar Mata

 

Ejercicios de la actividad 2. Números Complejos

Ejercicio 2.

 

Punto 5.

Para obtener la raíz cuadrada, cúbica o enésima, también se aplica el Teorema de: De Möivre. 

Convertí mi número a la forma trigonométrica, después escribí la raíz como una potencia fraccionaria, en seguida sustituí la formula De Möivre.  

Sustituí las veces que se me pedía, que en este caso fueron tres veces (k=0, k=1, k=2) ya que era raíz cúbica. Pase a resolver la ecuación para poder sacar las coordenadas de las graficas de cada uno. 

Trace el plano cartesiano para plasmar ahí los resultados le las raíces de mi número, y, localice el modulo y argumento de cada vector.                                          

Números Complejos en Excel.

Disponemos de un grupo de funciones para operar con complejos dentro del apartado Funciones de ingeniería. El listado de las referidas a números complejos son:

COMPLEJO Convierte coeficientes reales e imaginarios en un número complejo IM.ABS Devuelve el valor absoluto (módulo) de un número complejo
IMAGINARIO Devuelve el coeficiente imaginario de un número complejo
IM.ANGULO Devuelve el argumento theta, un ángulo expresado en radianes
IM.CONJUGADA Devuelve la conjugada compleja de un número complejo
IM.COS Devuelve el coseno de un número complejo
IM.DIV Devuelve el cociente de dos números complejos
IM.EXP Devuelve el valor exponencial de un número complejo
IM.LN Devuelve el logaritmo natural (neperiano) de un número complejo
IM.LOG10 Devuelve el logaritmo en base 10 de un número complejo
IM.LOG2 Devuelve el logaritmo en base 2 de un número complejo
IM.POT Devuelve un número complejo elevado a una potencia entera
IM.PRODUCT Devuelve el producto de 2 a 29 números complejos
IM.REAL Devuelve el coeficiente real de un número complejo
IM.SENO Devuelve el seno de un número complejo
IM.RAIZ2 Devuelve la raíz cuadrada de un número complejo
IM.SUSTR Devuelve la diferencia entre dos números complejos
IM.SUM Devuelve la suma de números complejos

Veamos cómo utilizarlas::

Cómo escribir un número complejo

Forma binómica. Se escribe directamente, como si fuera texto, en la forma de coordenadas, utilizando, indistintamente la letra i o j. Ejemplo:

Hay un inconveniente, cuando la parte real es negativa, como en el ejemplo de la celda A2. Excel considera la celda como fórmula. Debemos colocar un  apóstrofe (') antes del signo -.

También existe la posibilidad de utilizar la función COMPLEJO(a;b;i), donde:

a, es la parte real del complejo

b, es la parte imaginaria

i, es opcional y determina entre el carácter "i" o "j". Si no se pone nada, está predefinida la "i".

Consejo: puedes utilizar tanto el carácter i como la j, en MINÚSCULAS, pero decídete por uno y no los mezcles.

Forma polar. No existe una forma de introducirlos directamente en este formato, deberás utilizar dos casillas, una para el módulo y otra para el argumento.

Conversión entre presentaciones del número complejo

Forma binómica a polar. Dividiremos el complejo de ejemplo de la cas en dos casillas, una para el módulo y otra para el ángulo, utilizando las siguientes funciones:

Módulo: IM.ABS(A1)

Ángulo: IM.ANGULO(A1)

Forma polar a binómica. No hay funciones específicas para esta conversión, porque podemos utilizar las propias de Excel. Tenemos un complejo Z en las casillas A1(módulo) y B1(argumento):

Parte Real: A1*COS(A1)

Parte Imaginaria: A1*SEN(A1)

Complejo binómico: COMPLEJO(A1*COS(A1);A1*SEN(A1))

Suma/Resta de complejos
Forma binómica. Tenemos dos complejos en A1 y A2:

Suma: IM.SUM(A1;A2)

Resta: IM.SUSTR(A1;A2)

Forma polar. Tenemos dos complejos: Z₁ (Módulo en A1, Argumento en B1). y Z₂ (Módulo en A2, Argumento en B2).

Debemos puntualizar que:

• En primer lugar, deberemos convertir los complejos a su forma binomica y luego operar.
• Redondeamos los miembros del complejo a DOS decimales (2 en rojo si se desea modificar).
• Los argumentos están en RADIANES. Si estuvieran en grados, debería sustituirse B1 por B1*PI()/180 y B2 por B2*PI()/180.

Complejo binómico Suma: =IM.SUM(COMPLEJO(REDONDEAR(A1*COS(B1);2);REDONDEAR(A1*SENO(B1);2));COMPLEJO(REDONDEAR(A2*COS(B2);2);REDONDEAR(A2*SENO(B2);2)))

Módulo de la Suma: IM.ABS(Complejo binómico Suma)

Argumento de la Suma: IM.ANGULO(Complejo binómico Suma)

Complejo binómico Resta: =IM.SUSTR(COMPLEJO(REDONDEAR(A1*COS(B1);2);REDONDEAR(A1*SENO(B1);2));COMPLEJO(REDONDEAR(A2*COS(B2);2);REDONDEAR(A2*SENO(B2);2)))

Módulo de la Resta: IM.ABS(Complejo binómico Resta)

Argumento de la Resta: IM.ANGULO(Complejo binómico Resta) 

Producto/División de complejos
Forma binómica. Supongamos que vamos a multiplicar y dividir las casillas A1 y A2 de la imagen. Utilizamos:

Multiplicación: IM.ABS(A1)

División: IM.ANG(A1)

Forma polar. Tenemos dos complejos: Z₁ (Módulo en A1, Argumento en B1). y Z₂ (Módulo en A2, Argumento en B2).

Debemos puntualizar que:

• En primer lugar, deberemos convertir los complejos a su forma binomica y luego operar.
• Redondeamos los miembros del complejo a DOS decimales (2 en rojo si se desea modificar).
• Los argumentos están en RADIANES. Si estuvieran en grados, debería sustituirse B1 por B1*PI()/180 y B2 por B2*PI()/180.

Complejo binómico Producto: =IM.PRODUCT(COMPLEJO(REDONDEAR(A1*COS(B1);2);REDONDEAR(A1*SENO(B1);2));COMPLEJO(REDONDEAR(A2*COS(B2);2);REDONDEAR(A2*SENO(B2);2)))

Módulo de la Suma: IM.ABS(Complejo binómico Producto)

Argumento de la Suma: IM.ANGULO(Complejo binómico Producto)

Complejo binómico División: =IM.DIV(COMPLEJO(REDONDEAR(A1*COS(B1);2);REDONDEAR(A1*SENO(B1);2));COMPLEJO(REDONDEAR(A2*COS(B2);2);REDONDEAR(A2*SENO(B2);2)))

Módulo de la Resta: IM.ABS(Complejo binómico División)

Argumento de la Resta: IM.ANGULO(Complejo binómico División)

Fuente:

http://arablogs.catedu.es/blog.php?id_blog=1654&id_articulo=88989

Teorema de Möivre

Actividad 3. Potencias y Raíces de Números Complejos.

Activity 3 de moivre theorem from Edgar Mata
 

Actividad 3 from UTT

Complex numbers powers and roots from Edgar Mata

 

Actividad 2. Números Complejos.

Actividad 2. Números Complejos. from UTT

FEACTALES. 

 

Sexta iteración de la alfombra de Sierpinski 

Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objeto, ya que siempre lo veremos de la misma forma.   

El termino fractal (del Latín fractus) fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como por ejemplo, en el romanescu 

Si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen una estructura geométrica recursiva. Si observamos dos fotografías de un objeto fractal con escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo) sin nada que sirva de referencia para ver cual es el tamaño, resultaría difícil decir cual es de las ampliaciones es mayor o si son distintas. 

Un fractal se le atribuyen las siguientes características: 

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.  
• Posee detalle a cualquier escala de observación. 
• Es auto-similar 

La auto-similitud según Mandelbrot es  cuando un objeto tiene la misma forma o estructura, aunque se presentan a diferente escala y pueden estar un poco deformadas.   Los fractales presentan 3 tipos diferentes de auto-similitud: 

• Auto-similitud exacta: Este exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. 
• Cuasiautosimilitud: Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas, estos tienen copias menores y distorsionadas de si mismos. 
• Auto-similitud estadística: Se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que muestren el cambio de escala. 

Los fractales desde su primera formulación tuvieron una vocación práctica de servir como modelos para explicar la naturaleza. Fue Benoit Mandelbrot quién tuvo el mérito de intuir la potencia de los fractales para construir modelos que explicasen la realidad, desde un inicio Mandelbrot, se dedicó al problema de medir la costa de Gran Bretaña usándolo. 

Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso. 

 

Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.  

El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión: 

 

Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677, etc.(0, 1=02+1, 2=12+1, 5=22+1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25, -0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc. De esta forma, c=-0.5 pertenece al conjunto y c=1 no. 

FRACTALES EN LA VIDA COTIDIANA 

 

 

 

UTILIDAD DE LOS FRACTALES 

Cardiología: Estudia la variabilidad de la dimensión fractal del árbol coronario izquierdo en pacientes con enfermedad arterial oclusiva severa. 

También cabe destacar su aplicación al mundo de las artes plásticas y especialmente de la música.  

 

Se entiende por música fractal aquella que traslada la estructura de un fractal al espacio musical. Piezas clásicas como "Primera Escossaien" de Beethoven tienen una estructura fractal.