FEACTALES. 

 

Sexta iteración de la alfombra de Sierpinski 

Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objeto, ya que siempre lo veremos de la misma forma.   

El termino fractal (del Latín fractus) fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como por ejemplo, en el romanescu 

Si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen una estructura geométrica recursiva. Si observamos dos fotografías de un objeto fractal con escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo) sin nada que sirva de referencia para ver cual es el tamaño, resultaría difícil decir cual es de las ampliaciones es mayor o si son distintas. 

Un fractal se le atribuyen las siguientes características: 

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.  
• Posee detalle a cualquier escala de observación. 
• Es auto-similar 

La auto-similitud según Mandelbrot es  cuando un objeto tiene la misma forma o estructura, aunque se presentan a diferente escala y pueden estar un poco deformadas.   Los fractales presentan 3 tipos diferentes de auto-similitud: 

• Auto-similitud exacta: Este exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. 
• Cuasiautosimilitud: Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas, estos tienen copias menores y distorsionadas de si mismos. 
• Auto-similitud estadística: Se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que muestren el cambio de escala. 

Los fractales desde su primera formulación tuvieron una vocación práctica de servir como modelos para explicar la naturaleza. Fue Benoit Mandelbrot quién tuvo el mérito de intuir la potencia de los fractales para construir modelos que explicasen la realidad, desde un inicio Mandelbrot, se dedicó al problema de medir la costa de Gran Bretaña usándolo. 

Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso. 

 

Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.  

El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión: 

 

Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677, etc.(0, 1=02+1, 2=12+1, 5=22+1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25, -0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc. De esta forma, c=-0.5 pertenece al conjunto y c=1 no. 

FRACTALES EN LA VIDA COTIDIANA 

 

 

 

UTILIDAD DE LOS FRACTALES 

Cardiología: Estudia la variabilidad de la dimensión fractal del árbol coronario izquierdo en pacientes con enfermedad arterial oclusiva severa. 

También cabe destacar su aplicación al mundo de las artes plásticas y especialmente de la música.  

 

Se entiende por música fractal aquella que traslada la estructura de un fractal al espacio musical. Piezas clásicas como "Primera Escossaien" de Beethoven tienen una estructura fractal.